Ćwiczenia z analizy matematycznej - zadania 1 - indukcja matematyczna, Matematyka

Ćwiczenia z analizy ...

Ćwiczenia z analizy matematycznej - zadania 1 - indukcja matematyczna, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ–ZADANIA
INDUKCJAMATEMATYCZNA
1.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a)1+2+3+...+n=
n(n+1)
2
b)1
2
+2
2
+3
2
+...+n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
c)(1+2+3+...+n)
2
=
n
2
(n+1)
2
4
d)1
2
−2
2
+3
2
−4
2
+...+(−1)
n−1
n
2
=(−1)
n−1
n(n+1)
2
e)1·2+2·3+3·4+...+n·(n+1)=
n(n+1)(n+2)
g)
P
n
k=1
1
h)
P
n
k=1
1
n+1
i)
P
n
k=1
1
2n+1
(3k−2)(3k+1)
=
n
1
2
−
1
j)
P
n
k=1
1
k)
P
n
k=1
2k−1=n
2
l)
P
n
k=1
(2k−1)
3
=n
2
(2n
2
−1)
m)
P
n
k=1
(4k−3)=n(2n−1)
n)(1+2+...+n)
2
=1
3
+2
3
+...+n
3
(n+1)(n+2)
2.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a)5|n
5
−n
b)2|n
2
+n
c)19|(5·2
3n−2
+3
3n−1
)
d)30|n
5
−n
e)6|n
3
−n
f)6|n
3
+5n
3.Udowodni¢zapomoc¡metodyindukcjimatematycznej,»edlannatu-
ralnych:
a)
1
p
1
+
1
p
2
+...+
1
p
n
p
n
b)2
n
>n
c)
P
n
k=2
1
k
2
<1
n
1
n
2
n
n−1
d)(a+b)
n
=a
n
+
a
n−1
b+
a
n−2
b
2
+...+
ab
n−1
+b
n
1
3
f)2·1
2
+3·2
2
+4·3
2
+...+n(n−1)
2
+(n+1)n
2
=
n(n+1)(n+2)(3n+1)
12
k(k+1)
=
n
(2k−1)(2k+1)
=
n
3n+1
k(k+1)(k+2)
=
1
2
e)(1+x
1
)(1+x
2
)...(1+x
n
)1+x
1
+x
2
+...+x
n
przyzało»eniu:
x
1
,x
2
,...,x
n
0
Wniosek:nierówno±¢Bernoulliego(1+x)
n
1+nx.
f)x
1
+x
2
+...+x
n
nje±lix
1
,x
2
,...,x
n
>0,x
1
x
2
...x
n
=1
Wniosek:
x
1
,x
2
,...,x
n
>0)
x
1
+x
2
+...+x
n
n
p
x
1
x
2
...x
n
x
1
+
1
x
2
+...+
1
x
n
g)a
n
+b
n
(a+b)
n
,a,b0
h)(a+b)
n
2
n
(a
n
+b
n
),a,b0
i)
P
2n
k=1
(−1)
k+1
k=−n
j)(n+1)
n
<n
n+1
dlan3
2
n
n
p
x
1
x
2
...x
n
x
1
,x
2
,...,x
n
>0)
n
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Podobne

: Strona Główna

: ćwiczenia na powiekszenie penisa, Programy komputerowe przydatne

: Ćwiczenia na mięśnie brzucha, Zdrowie

: Ćwiczenie(1), Moduł 2-kjl IV VI

: Ćwiczenia bloku pojedynczego, Siatkówka

: Ćwiczenia powiększające, Wszystko o Penisach

: ĆWICZENIA NA SZYJĘ, Zdrowie